Question

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。（1）求∠AOC的度数；（2）在图1中，P为直径

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。（1）求∠AOC的度数；（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S △MAO =S △CAO 时，求动点M所经过的弧长。

Answer 1

解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA ∴△ACO是等边三角形 ∴∠AOC=60° （2）∵CP与⊙O相切，OC是半径 ∴CP⊥OC ∴∠P=90°-∠AOC=30° ∴PO=2CO=8； （3）如图， ①作点C关于直径AB的对称点M 1 ，连接AM 1 ，OM 1 易得 ，∠AOM 1 =60° ∴ ×60°= ， ∴当点M运动到M 1 时，S △MAO =S △CAO ，此时点M经过的弧长为 ，  ②过点M 1 作M 1 M 2 ∥AB交⊙O于点M 2 ，连接AM 2 ，OM 2 ， 易得 =S △CAO ∴∠AOM 1 =∠M 1 OM 2 =∠BOM 2 =60° ∴ 或 ∴当点M运动到M 2 时，S △MAO =S △CAO ，此时点M经过的弧长为 ， ③过点C作CM 3 ∥AB交⊙O于点M 3 ，连接AM 3 ，OM 3 ， 易得 =S △CAO ∴∠BOM 3 =60°， ∴ 或 ∴当点M运动到M3时，S △MAO =S △CAO ，此时点M经过的弧长为 ，  ④当点M运动到C时，M与C重合，S △MAO =S △CAO ， 此时点M经过的弧长为 或 。