Question

已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，a1=3，a3=9，（1）求数列{an}的通项公式．（2）求和Sn=1a2?

已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，a1=3，a3=9，（1）求数列{an}的通项公式．（2）求和Sn=1a2?a1+1a3?a2+…+1an+1?an．

Answer 1

（1）∵数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，a₁=3，a₃=9，
∴log₂（a₁-1）=log₂2=1，
log₂（a₃-1）=log₂8=3，
∴{log₂（a_n-1）}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴log₂（a_n-1）=1+n-1=n，
∴an?1＝2n，
∴an＝2n+1．
（2）∵an＝2n+1，
∴

1

an+1?an

=

1

2n+1?2n

=

1

2n

，
∴S_n=

1

a2?a1

+

1

a3?a2

+…+

1

an+1?an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1? 1 2n )

1? 1 2

=1-

1

2n

．