已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5](1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,
已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5](1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.(...
已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5](1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.(3)求函数f(x)的最小值g(a),并求g(a)的最大值.
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(1)当a=-1时,函数f(x)=x2+2ax+2=x2 -2x+2=(x-1)2+1,
再由x∈[-5,5],可得当x=1时,函数取得最小值为1,当x=-5时,函数取得最大值为37.
(2)∵y=f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2 的对称轴为x=-a,
且在区间[-5,5]上是单调函数,可得-a≤-5,或-a≥5.
解得a≥5,或 a≤-5,故a的范围为[5,+∞)∪(-∞,-5].
(3)由于y=f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2 的对称轴为x=-a,
故当-5≤-a≤5时,即-5≤a≤5时,f(x)在区间[-5,5]上最小值g(a)=2-a2.
当-a<-5时,即a>5时,由于f(x)在区间[-5,5]上单调递增,g(a)=f(-5)=27-10a,
当-a>5时,即a<-5时,由于f(x)在区间[-5,5]上单调递减,g(a)=f(5)=27+10a.
综上,g(a)=
.
当a<-5时,g(a)<-23; 当-5≤a≤5 时,-23≤g(a)≤2;当a>5时,g(a)<-23.
综合可得,g(a)的最大值为2,此时,a=0.
再由x∈[-5,5],可得当x=1时,函数取得最小值为1,当x=-5时,函数取得最大值为37.
(2)∵y=f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2 的对称轴为x=-a,
且在区间[-5,5]上是单调函数,可得-a≤-5,或-a≥5.
解得a≥5,或 a≤-5,故a的范围为[5,+∞)∪(-∞,-5].
(3)由于y=f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2 的对称轴为x=-a,
故当-5≤-a≤5时,即-5≤a≤5时,f(x)在区间[-5,5]上最小值g(a)=2-a2.
当-a<-5时,即a>5时,由于f(x)在区间[-5,5]上单调递增,g(a)=f(-5)=27-10a,
当-a>5时,即a<-5时,由于f(x)在区间[-5,5]上单调递减,g(a)=f(5)=27+10a.
综上,g(a)=
|
当a<-5时,g(a)<-23; 当-5≤a≤5 时,-23≤g(a)≤2;当a>5时,g(a)<-23.
综合可得,g(a)的最大值为2,此时,a=0.
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