Question

一道关于圆的几何题，如图如图bc是圆o的直径，点A在圆O上，AD⊥BC

如图bc是圆o的直径，点A在圆O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE的延长线分别交AD,AC的延长线于点F,G。 （1）求证AF=FG（2）已知tanG=1/2，求sin∠CBG的值

Answer 1

①

证明：

连接AB。

∵BC是⊙O的直径

∴∠BAC=90°

则∠G+∠ABE=90°

∵AD⊥BC

∴∠CAD+∠ACB=90°

∵弧AB=弧AE

∴∠ACB=∠ABE（等弧对等角）

∴∠G=∠CAD

∴AF=FG

②

解：

连接CE，设AF与⊙O交于H。

∵AD⊥BC

∴AD=DH，弧AB=弧BH（垂径定理）

∵弧AB=弧AE

∴优弧BE=优弧AH

∴BE=AH（等弧对等弦）

∵tan∠CAD=CD/AD=tan∠G=1/2

设CD=1，则AD=2，BE=AH=2AD=4，AC=√5（根据勾股定理）

∵∠BAC=∠ADC=90°，∠ACD=∠BCA（公共角）

∴△ABC∽△DAC（AA）

∴AC/CD=BC/AC

BC=AC×AC/CD=5

∵BC是直径，则∠BEC=90°

∴CE=3（根据勾股定理）

则sin∠CBG=CE/BC=3/5