Question

已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ

已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞kx+1?x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．证明如下：
f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

?1?ln(x+1)]=-

1

x2

[

1

x+1

+ln（x+1）]，
∵x＞0，∴x²＞0，

1

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）f（x）＞

k

x+1

恒成立，即h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．
h′（x）=

x?1?ln(x+1)

x2

，记g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
则g′（x）=

x

x+1

＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），g（a）=0，即a=1+ln（a+1），
当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（a）=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈（3，4），
∴k＜a+1，
故正整数k的最大值为3．