Question

已知,如图,正方形ABCD的边长为1,动点P由B出发,沿着B→D→A方向运动,到达点A处停止

已知,如图,正方形ABCD的边长为1,动点P由B出发,沿着B→D→A方向运动,到达点A处停止，设点P的运动速度为每秒1个单位，△ABP的面积为S。
延长线段AP交直线BC于点E,问是否存在某个时刻使得OP=1/2CE?若存在，请求出S的值，不存在，请说明理由

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Answer 1

解：先解（2），依题意，当P在BD上运动时，有BP=t，t∈[0,√2]；当P在DA上运动时，有BP=√2+1-t，t∈[√2，√2+1]。∴S△=AB.BPsin∠ABP/2=√2t/4（t∈[0,√2]）；S△=AB.AP/2=(√2+1-t)/2（t∈[√2，√2+1]）。将t=√2/2，代入得（1）：S△=1/4。
（3）显然，只能讨论P在BD（端点除外）上运动时，是否存在E点(否则，平行无交点)。过P作PQ⊥BC于Q，则BQ=PQ=BP/√2=t/√2。根据△ABE∽△PQE，有PQ/AB=QE/BE=(BE-BQ)/BE，得BE=t/(√2-t)。∴EC=BC-BE=1-t/(√2-t)=(√2-2t)/(√2-t)。
而要EC=2OP成立，则须：(√2-2t)/(√2-t)=2（√2/2-t）=√2-2t 成立。∴t=√2/2，或者t=√2-1时，有OP=EC/2成立。这时，S△=1/4，或者(2-√2)/4。供参考啊。