Question

不等式恒成立问题， 求解！！！(题目不是很难的)

（X^2+5+m）/√（x^2+m）≥（5+m）/√m 对任意的x∈R都成立，求实数m的取值范围

请写出解题过程 谢谢

Answer 1

sqrt表示根号
令f(x)=(x^2+5+m）/sqrt(x^2+m)=[sqrt(x^2+m)]+5/sqrt(x^2+m)
=sqrt(x^2+m)+5/sqrt(x^2+m)
显然m>0 而f(x)=f(-x)，所以只要当x≥0时，f(x)≥f(0)即可
当 0<m<sqrt(5) f(sqrt(5-m))=2sqrt(5)为f(x)在x≥0的最小值[根据均值不等式，a+b≥2sqrt(ab),且a=b的条件是可以取到的]，故此时当x≥0时，f(x)不恒大于等于f(0)
当m≥sqrt(5)时，f(x)在(0,+∞)单调递增[可以用定义证明]，即当x≥0时，f(x)恒大于等于f(0)
所以m的取值范围为[sqrt(5),+∞)