Question

为什么t/（sint）趋于0时的极限是1

Answer 1

正确的证明方法，是用单位圆画图和夹逼定理来做的。

问:当x趋于0如何证明x/snx的极限为1

可以用夹逼定理来证明

以(0,0)为圆心，画一个半径为1的圆；作图如下，DA⊥OB，CB⊥OD，x正半轴到直线OC的角度为x

当x＞0的时候，如图

设三角形ODA面积为S1,扇形面积ODB面积为S2,三角形OCB面积为S3

得S1＜S2＜S3

而DA=OD*sinx=1*sinx=sinx

弧DB=OD*x=x

BC=OB*tanx=1*tanx=tanx

由几何知识可知

DA＜弧DB＜BC

即sinx＜x＜tanx

即sinx＜x＜sinx/cosx

因为x＞0，在x=0附近，x是第一象限的角，sinx，x，tanx，cosx都是正数

所以1＜x/sinx＜1/cosx（同时除以正数sinx，不等号不变号）

而lim（x→0+）1=1，lim（x→0+）1/cosx=1

根据夹逼定理，得知lim（x→0+）x/sinx=1

类似的，可以证明lim（x→0-）x/sinx=1

所以lim（x→0）x/sinx=1

注意，此题的证明，不能采用洛必达法则，不能用分子分母求导得到

lim（x→0）x/sinx=lim（x→0）（x）'/（sinx）'=lim（x→0）1/cox=1的方法来做。

因为正弦函数的导数是余弦函数，即（sinx）'=cosx，这个公式的证明过程中，就使用了lim（x→0）x/sinx=1这个结论。所以用洛必达法则来做，使用（sinx）'=cosx的话，就是循环证明，属于证明中的逻辑错误。

Answer 2

sint是斜边和对边的比例，t近似接近于半径和斜边比例，当t趋于0的时候，两者的比例就无限接近于1，这在高等数学的一开始就介绍的，有严格的证明。要注意到的是，这是的t是弧度，不是角度。