Question

求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc<1/2

Answer 1

由a,
b,
c为三角形三边,
有a+b-c
>
0,
b+c-a
>
0,
c+a-b
>
0.
相乘得(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
>
0,
展开得a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²
>
a³+b³+c³+2abc
①.
于是由a+b+c
=
1,
有2(a²+b²+c²+4abc)
=
2(a²+b²+c²)(a+b+c)+8abc
=
2(a³+b³+c³)+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+8abc
=
a³+b³+c³+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc+(a³+b³+c³+2abc)
<
a³+b³+c³+3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc
(由①)
=
(a+b+c)³
=
1,
即a²+b²+c²+4abc
<
1/2.
不等式①在证明某些以构成三角形三边为条件的不等式时很好用.
因为在a,
b,
c
>
0的前提下,
①是a,
b,
c构成三角形三边的充要条件.
上述证明的思路就是用a+b+c
=
1的条件将不等式化为
齐次
不等式,
然后用①证明之.