Question

函数的有极限，可导，连续，有极值，有最值。之间的关系？

Answer 1

(仅考虑一维的)
函数连续不一定可导如 f(x)=|x| 连续,但在x=0处不可导
函数可导一定连续
函数在点x0 连续,那么函数一定在x0点有极限
函数有极限(这句话应该说在x0点有极限) 只能用ε-δ语言来描,不一定在x0点连续 比如f(x)=x(x+1)/x 在点x=0 不连续,但有极限
不考虑区间段点的话(或都说只考虑开区间)
最值一定是极值.
极值不一定是最值,因为只是在一个邻域内的最大值,比如考虑 f(x)=x*sin(x) 在区间(0,3Pi)上
x=pi/2 就是这个函数的一个极值点,但不是最值,最值点 x=5pi/2 也是极值点,一般情况下极值点的导数一定为零.
反过来导数为零的点不一定是极值点比如 y=x^3 在x=0点导数为零,但不是极值点
还想知什么,我补充

Answer 2

(仅考虑一维的)
函数连续不一定可导如
f(x)=|x|
连续,但在x=0处不可导
函数可导一定连续
函数在点x0
连续,那么函数一定在x0点有极限
函数有极限(这句话应该说在x0点有极限)
只能用ε-δ语言来描,不一定在x0点连续
比如f(x)=x(x+1)/x
在点x=0
不连续,但有极限
不考虑区间段点的话(或都说只考虑开区间)
最值一定是极值.
极值不一定是最值,因为只是在一个邻域内的最大值,比如考虑
f(x)=x*sin(x)
在区间(0,3Pi)上
x=pi/2
就是这个函数的一个极值点,但不是最值,最值点
x=5pi/2
也是极值点,一般情况下极值点的导数一定为零.
反过来导数为零的点不一定是极值点比如
y=x^3
在x=0点导数为零,但不是极值点
还想知什么,我补充