Question

已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证

（1）a²+b²+c²≥1/3
（2）根号a+根号b+根号c≤根号3

Answer 1

1. a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=1-2(ab+ac+bc)
2(ab+ac+bc)<=(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2)
a^2+b^2+c^2=1-2(ab+ac+bc)>=1-2(a^2+b^2+c^2)
a^2+b^2+c^2>=1/3

2.(根号a+根号b+根号c)^2=a+b+c+2(根号ab+根号ac+根号bc)=1+2(根号ab+根号ac+根号bc)
2(根号ab+根号ac+根号bc)<=a+b+a+c+b+c=2

(根号a+根号b+根号c)^2<=3

根号a+根号b+根号c≤根号3

Answer 2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
因为(a-b)^2>=0于是2ab<=a^2+b^2（或者用均值不等式也是一样的结论）
类似的有2bc<=b^2+c^2
2ac<=a^2+c^2
于是(a+b+c)^2<=3a^2+3b^2+3c^2
所以3a^2+3b^2+3c^2>=1
a²+b²+c²≥1/3

（根号a+根号b+根号c）^2 = a+b+c+2根号ab+2根号bc+2根号ac
（根号a-根号b）^2>=0于是有 2根号ab<=a+b
类似的有
2根号bc<=c+b
2根号ac<=a+c
（根号a+根号b+根号c）^2 <= 3a+3b+3c=3
于是根号a+根号b+根号c≤根号3

（符号<=表示小于等于，>=表示大于等于）
写的稍微有点乱，不过应该能看懂，望采纳～～～

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/122131362.html?si=3
http://zhidao.baidu.com/question/5473171.html?fr=qrl&cid=983&index=1
http://zhidao.baidu.com/question/122131362.html?si=3
希望采纳。新春快乐！