Question

求教：二重积分对称性定理，积分区域关于原点对称时的问题

二重积分对称性定理：
积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数，则
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）

或

∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）

例：
计算I=∫∫xydxdy（在区域D上积分），
其中区域D为双曲线（x^2+y^2）^2=2xy所围成

解：区域D：（x^2+y^2）^2=2xy关于原点对称，
又f(-x,-y)=(-x)*(-y)=xy=f(x,y)
所以∫∫xydxdy（在区域D上积分）=2∫∫xydxdy（在区域D*上积分），其中区域D*是区域D的第1象限部分

（定理是蔡子华书上的，例题是陈文灯书上的，陈文灯书上的定理没写后面的条件。定理与例题区域D*矛盾，到底谁的是对的。请帮忙解释下）

Answer 1

定理没错
那就是陈文灯的错了拉