Question

导数和微分深层次本质关系是什么?

Answer 1

对于一元函数下的微分，由△y=A△x+0(x),记得dy=A△x,A即为其相对应的导。对于函数f(x),在某点处可导是其可微的充要条件。也可以说导数是相应函数微分dy与自变量微分dx的商。所以导数又称微商。而对于两者的几何意义而言，导数是函数在过相应点切线的斜率，而相应微分就是这条切线纵坐标的改变量。
导数强调的是一种变化率，而微分是对于变化量的解读。

而对于多元函数之下的偏导数和全微分，又有些微的区别。
以二元函数为例，f（x+△x,y）-f(x,y)≈fx(x,y)△x【对x的偏微分】（当然另外还有对y的偏微分）。x,y均改变的情况下产生的函数改变量成为全增量，这种情况下产生了全微分。
对于二元函数z=f(x,y)在点（x,y）处可微分（全微分），那么在此点就有偏导数，且在此点沿任意方向的方向导数（偏导数也可以说是方向导数中的特例）均存在。而偏导数在此点处连续才能得到可微分。
进一步，也即是说偏导数是全微分的必要不充分条件。
此种情况下看，可微分的条件更为严苛。

其实我们也可以将一元函数中的导数和微分看做是一种特殊的全导和全微，因为它研究的基础是平面的，变化也是单一的。