Question

高中数学设f（x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x＞0时。

设f（x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x＞0时。有[xf′(x)-f(x)]/x²＜0恒成立，则不等
式x²f(x)>0的解集是
x<-2∪0<x<2
帮忙写下详细过程，谢谢
是怎样看出在x大于0时是函数的

Answer 1

因为是奇函数，所以有f(x)=0。定义域为R
在x＞0的范围内 [xf′(x)-f(x)]/x²＜0 其定义域为{x|x≠0}
xf'(x)＜f(x)
又∵f(2)=0
∴xf'(x)的定义域为{x|x＜2}
x²f(x)>0
当在x＞0中x的范围x＜2
在x＜0时要代入[xf′(x)-f(x)]/x²＜0中
这就有-x＞0
x²f′(-x)＞0因为有平方所以要多考虑 xf′(-x)＞f(-x)
所以x＜-2

Answer 2

∵x²f(x)>0∴f(x)>0
∵f(2)=0∴f(-2)=0
当x>0，设h(x)=f(x)/x h′(x)=[xf′(x)-f(x)]/x²＜0
∴h(x)在(0,∞)单调减
∵x∈(0,2)时，h(x)>0∴此时f(x)>0
∵f(x)=-f(-x)
∴h(-x)=f(-x)/-x=f(x)/x∴h(x)为偶函数
∴当x∈(-∞,0)时，h(x)单调增
∵x∈(∞,-2)时，h(x)<0∴此时f(x)>0
综上：x<-2∪0<x<2