Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．求证：四边形AEFD是矩形

已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．求证：四边形AEFD是矩形．

Answer 1

证明：
证法一：∵在梯形ABCD中，AD ∥ BC，又∵EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．（1分）
∴AD ∥ DF，∴∠AEF=∠DFC．（1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．（1分）
又∵BE=CF，∴△ABE≌△DCF．（1分）
∴∠AEB=∠DFC，（1分）
∴∠AEB=∠AEF．（1分）
∵∠AEB+∠AEF=180°，∴∠AEF=90°．（1分）
∴四边形AEFD是矩形．（1分）

证法二：连接AF、DE．（1分）


∵在梯形ABCD中，AD ∥ BC，又∵EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．（1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．（1分）
∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，（1分）
∴△ABF≌△DCE．（1分）
∴AF=DE，（2分）
∴四边形AEFD是矩形．（1分）