Question

（2007?陇南）如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：I

（2007?陇南）如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧BC上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．





Answer 1

（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD（3分）
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；（5分）

（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D
∴△ABD∽△BED（7分）
∴

BD

DE

＝

AD

BD

∴AD×DE=BD²=ID²（8分）
∵ID=6，AD=x，DE=y
∴xy=36（9分）
又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10
∴6＜x≤10
∴y与x的函数关系式是y＝

36

x

（6＜x≤10）．（10分）
说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．