Question

高数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 求f'(x)=0有多少实数根

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 求f'(x)=0有多少实数根

Answer 1

函数=0时，和x轴有5个交点。每两个交点之间根据罗尔定理必有一个C使得f'(c)=0,所以一共是4个根

Answer 2

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
f ' (x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + (x-1)(x-3)(x-4)(x-5) + (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)
+ (x-1)(x-2)(x-3)(x-5) + (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 0
整理得：
(x-3)(x-4)(x-5)(2x-3) + (x-1)(x-2)(x-5)(2x-7) = 0
(x- 5)[(x²-7x+12)(2x-3) + (x²-3x+2)(2x-7)] =0
(x-5)(2x^3 - 15x^2 + 35x - 25)=0
设g(x) = 2x^3 - 15x^2 + 35x - 25
g ' (x) = 6x^2 - 30x + 35 =6(x-5/2)² - 5/2 =0
显然g(x)有两个极值，g(x)有三个零点。
综上可知f ' (x) = 0 有四个实数根。

追问

谢谢你啦辛苦了~~~

Answer 3

4个，根据罗尔中值定理，x在（1，2）有一个，在（2,3)有一个。。。因为f（1）=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)

追问

谢谢~~