Question

已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ π 4

已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ π 4 ，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 π 2 单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x 0 ∈（ π 6 ， π 4 ），使得f（x 0 ），g（x 0 ），f（x 0 ）g（x 0 ）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0 的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π， ∴ω= 2π T =2， 又曲线y=f（x）的一个对称中心为 ( π 4 ，0) ，φ∈（0，π）， 故f（ π 4 ）=sin（2× π 4 +φ）=0，得φ= π 2 ，所以f（x）=cos2x． 将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象， 再将y=cosx的图象向右平移 π 2 个单位长度后得到函数g（x）=cos（x- π 2 ）的图象， ∴g（x）=sinx． （2）当x∈（ π 6 ， π 4 ）时， 1 2 ＜sinx＜ 2 2 ，0＜cosx＜ 1 2 ， ∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x， 问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ π 6 ， π 4 ）内是否有解． 设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（ π 6 ， π 4 ）， 则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）， ∵x∈（ π 6 ， π 4 ）， ∴G′（x）＞0，G（x）在（ π 6 ， π 4 ）内单调递增， 又G（ π 6 ）=- 1 4 ＜0，G（ π 4 ）= 2 2 ＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（ π 6 ， π 4 ）内存在唯一零点x 0 ，即存在唯一零点x 0 ∈（ π 6 ， π 4 ）满足题意． （3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0， 当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解， ∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=- cos2x sinx ，x≠kπ（k∈Z）． 现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=- cos2x sinx 的解的情况． 令h（x）=- cos2x sinx ，x∈（0，π）∪（π，2π）， 则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况． h′（x）= cosx( 2sin 2 x+1) sin 2 x ，令h′（x）=0，得x= π 2 或x= 3π 2 ， 当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表： x （0， π 2 ） π 2 （ π 2 ，π） （π， 3π 2 ） 3π 2 （ 3π 2 ，2π） h′（x） + 0 - - 0 + h（x） ↗ 1 ↘ ↘ -1 ↗ 当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于-∞， 当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于-∞， 当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞， 当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞， 故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点； 当a＜-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点； 当-1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点； 由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点； 又当a=1或a=-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671， ∴依题意得n=671×2=1342． 综上，当a=1，n=1342，或a=-1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．