Question

已知函数 f(x)=1- a x +ln 1 x （a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）-

已知函数 f(x)=1- a x +ln 1 x （a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）-2x的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N * 且n≥3，求证： ln n+1 3 ＜ 1 3 + 1 4 + 1 5 +…+ 1 n ．

Answer 1

（I）当a=1时， g(x)=1-2x- 1 x +ln 1 x ，其定义域为（0，+∞），g′（x）=-2+ 1 x 2 - 1 x = -2 x 2 -x+1 x 2 = -(2x-1)(x+1) x 2 ，， 令g′（x）＞0，并结合定义域知 x∈(0， 1 2 ) ； 令g′（x）＜0，并结合定义域知 x∈( 1 2 ，+∞) ； 故g（x）的单调增区间为（0， 1 2 ）；单调减区间为 ( 1 2 ，+∞) ． （II） f ′ (x)= a x 2 - 1 x = a-x x 2 ， （1）当f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立时，a≤0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值； （2）当f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立时，a≥2，此时f（x）在（0，2）上单调递增，无极值． 综上所述，a的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f′（x）= 1-x x 2 ，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， ∴f（x）= 1- 1 x +ln 1 x 在x=1处取得最大值0． 即f（x）=1- 1 x +ln 1 x ≤0 ， ∴ ln 1 x ≤ 1-x x ，令x= n n+1 （0＜x＜1），则 ln n+1 n ＜ 1 n ，即ln（n+1）-lnn ＜ 1 n ， ∴ln n+1 3 =ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3） ＜ 1 n + 1 n-1 + 1 n-2 +…+ 1 3 ． 故 ln n+1 3 ＜ 1 3 + 1 4 + 1 5 +…+ 1 n ．