Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝

a

x

?a＝

a(1?x)

x

（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）
（2）∵函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线倾斜角为45°，
∴f′（2）=

?a

2

=1，解得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，
则函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+

m

2

]=x3+(

m

2

+2)x2?2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
综上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0   g′(3)＞0

，解得?

37

3

＜m＜?9．
故m的取值范围为：?

37

3

＜m＜?9．