Question

已知x、y是实数且满足x2+xy+y2-2=0，设M=x2-xy+y2，则M的取值范围是______

已知x、y是实数且满足x2+xy+y2-2=0，设M=x2-xy+y2，则M的取值范围是______．

Answer 1

由x²+xy+y²-2=0得：x²+2xy+y²-2-xy=0，
即（x+y）²=2+xy≥0，所以xy≥-2；
由x²+xy+y²-2=0得：x²-2xy+y²-2+3xy=0，
即（x-y）²=2-3xy≥0，所以xy≤

2

3

，
∴-2≤xy≤

2

3

，
∴不等式两边同时乘以-2得：
（-2）×（-2）≥-2xy≥

2

3

×（-2），即-

4

3

≤-2xy≤4，
两边同时加上2得：-

4

3

+2≤2-2xy≤4+2，即

2

3

≤2-2xy≤6，
∵x²+xy+y²-2=0，∴x²+y²=2-xy，
∴M=x²-xy+y²=2-2xy，
则M的取值范围是

2

3

≤M≤6．
故答案为：

2

3

≤M≤6

Answer 2

解：由x²+xy+y²-2=0得：x²+2xy+y²-2-xy=0，
即（x+y）²=2+xy≥0，所以xy≥-2；
由x²+xy+y²-2=0得：x²-2xy+y²-2+3xy=0，
即（x-y）²=2-3xy≥0，所以xy≤2/3
∴-2≤xy≤2/3

∴不等式两边同时乘以-2得：

（-2）×（-2）≥-2xy≥-2*2/3
，即
-4/3≤-2xy≤4，
两边同时加上2得：
-4/3+2≤2-2xy≤4+2，即
2/3≤2-2xy≤6，
∵x2+xy+y2-2=0，∴x2+y2=2-xy，
∴M=x2-xy+y2=2-2xy，
则M的取值范围是2/3≤M≤6，