（2009?淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，试用空间向量知识解下列问
（2009?淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角...
（2009?淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A-A1D-B的余弦值大小．
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解答：
证明：（1）取BC中点O，连AO，
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCB1C1，平面ABC∩平面BCB1C1=BC，AO?平面ABC
∴AO⊥平面BCB1C1，…（2分）
取B1C1中点为O1，
以O为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D(?1，1，0)，A1(0，2，
)，A(0，0，
)，B1(1，2，0)…（4分）
∴
＝(1，2，?
)，
＝(?2，1，0)，
＝(?1，2，
)，
∵
?
＝?2+2+0＝0，
?
＝?1+4?3＝0，
∴
⊥
，
⊥
，
∴AB1⊥平面A1BD．…（6分）
（2）设平面A1AD的法向量为
＝(x，y，z)，
由
＝(?1，1，?
)，
＝(0，2，0)．
证明：（1）取BC中点O，连AO，∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCB1C1，平面ABC∩平面BCB1C1=BC，AO?平面ABC
∴AO⊥平面BCB1C1，…（2分）
取B1C1中点为O1，
以O为原点，
| OB |
| OO1 |
| OA |
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D(?1，1，0)，A1(0，2，
| 3 |
| 3 |
∴
| AB1 |
| 3 |
| BD |
| BA1 |
| 3 |
∵
| AB1 |
| BD |
| AB1 |
| BA1 |
∴
| AB1 |
| BD |
| AB1 |
| BA1 |
∴AB1⊥平面A1BD．…（6分）
（2）设平面A1AD的法向量为
| n |
由
| AD |
| 3 |
| AA1 |
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