Question

已知：在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，E，F分别是AB和BC边上的点．（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形AB

已知：在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，E，F分别是AB和BC边上的点．（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积S 梯形ABCD 的值；（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k?EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系写出你的结论并证明之．

Answer 1

（1）由题意，有△BEF≌△DEF． ∴BF=DF 如图，过点A作AG⊥BC于点G．则四边形AGFD是矩形． ∴AG=DF，GF=AD=4． 在Rt△ABG和Rt△DCF中， ∵AB=DC，AG=DF， ∴Rt△ABG≌Rt△DCF．（HL） ∴BG=CF ∴BG= 1 2 （BC-GF）= 1 2 （8-4）=2． ∴DF=BF=BG+GF=2+4=6 ∴S 梯形ABCD = 1 2 （AD+BC）?DF= 1 2 ×（4+8）×6=36 （2）猜想：CG=k?BE（或BE= 1 K CG） 证明：如图，过点E作EH ∥ CG，交BC于点H． 则∠FEH=∠FGC． 又∠EFH=∠GFC， ∴△EFH ∽ △GFC． ∴ EF GF = EH GC ， 而FG=k?EF，即 GF EF =k ． ∴ EH GC = 1 k 即CG=k?EH ∵EH ∥ CG，∴∠EHB=∠DCB． 而四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB． ∴∠B=∠EHB．∴BE=EH． ∴CG=k?BE．