Question

已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，E、F分别是AB和BC边上的点（1）如图1，以EF为对称轴翻折△BEF

（1）如图1，以EF为对称轴翻折△BEF，使点B与点D重合，且DF⊥BC.若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积；（2）如图2，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k×EF（k为正数）当K=1时，试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并说明理由；

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴从等腰梯形对称性及DF⊥BC得，CF=1/2(BC-AD)=2，DF=BF=6，
∴S=1/2(4+8)×6=36，
⑵∵FG=AF，∴A与E重合
(过E作EH∥CD交BC于H，可得ΔEFH≌ΔGFC，∴EH=CD，∴EHCD是平行四边形，
∴DE∥BC，∴DE与DA重合，从而A与E重合)。
CF是ΔDEG的中位线，
CG=CD=AB=BE。

Answer 2

解：（1）由题意，有△BEF≌△DEF．
∴BF=DF
如图，过点A作AG⊥BC于点G．则四边形AGFD是矩形．
∴AG=DF，GF=AD=4．
在Rt△ABG和Rt△DCF中，
∵AB=DC，AG=DF，
∴Rt△ABG≌Rt△DCF．（HL）
∴BG=CF
∴BG=12（BC-GF）=12（8-4）=2．
∴DF=BF=BG+GF=2+4=6
∴S梯形ABCD=12（AD+BC）•DF=12×（4+8）×6=36

（2）猜想：CG=k•BE（或BE=1KCG）
证明：如图，过点E作EH∥CG，交BC于点H．则∠FEH=∠FGC．
又∠EFH=∠GFC，
∴△EFH∽△GFC．
∴EFGF=
EHGC，
而FG=k•EF，即GFEF=k．
∴EHGC=
1k即CG=k•EH
∵EH∥CG，∴∠EHB=∠DCB．
而四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB．
∴∠B=∠EHB．∴BE=EH．
∴CG=k•BE．