Question

已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是

已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，tan∠CAD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连结OD，如图，
∵AD平分∠CAM交⊙O于D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠1=∠2，
∵tan∠2=tan∠CAD=2，
在Rt△ADE中，tan∠2=

DE

AE

=2，
而DE=6，
∴AE=3，
∴AD=

DE2+AE2

=3

5

，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
而∠1=∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△AED，
∴AC：AD=AD：AE，即AC：3

5

=3

5

：3，
∴AC=15，
∴⊙O的半径为

15

2

．