Question

有界是可积的必要条件，能不能举几个有界但不可积例子？

RT

Answer 1

1、狄利克雷函数

D(x)=1, if x是有理数；

D(x)=0, if x是无理数。

它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。

2、Riemann 函数,

一个界为 1, 它在有理点不连续, 积分为 0。

扩展资料：

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制。由于黎曼可积函数主要是连续函数或不连续点不太多的函数，使得黎曼积分在量子力学和概率论中的应用都遇到了瓶颈。

仅从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序、重积分交换次序、牛顿一莱布尼茨公式等来看，黎曼积分要求的条件苛刻，对于一些问题的处理显得力不从心，但是在勒贝格积分的框架下，上述问题就会得到较为圆满的解决。

另外为引入积分而得到的勒贝格测度概念还使数学分析中本来很难讲清楚的一些道理（如单调函数的可微性、黎曼可积的充要条件等）变得清晰。

勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的。这一积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

参考资料来源：百度百科——可积函数

Answer 2

有界但不可积的函数例子：

1、Dirichilet函数

2、Sin(x^2)函数

3、f(x)为定义在[0,1]上的函数，并且f(x)=1。

4、狄利克雷函数D(x)，D(x)=1, if x是有理数；D(x)=0, if x是无理数。

可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

扩展资料

可积函数的三种类型：

1、闭区间上的连续函数 。

2、只有有限个第一类不连续点的函数是可积得，即分段连续函数是可积的 。

3、单调有界函数必可积 ，这种可积类型叫黎曼可积。

参考资料：百度百科—可积函数

Answer 3

比如狄利克雷函数啊~就是一个很典型的函数。
它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数D(x)
D(x)=1, if x是有理数；
D(x)=0, if x是无理数。

追问

比较简单的初等函数里不存在吗？我不知道雷迪克函数

追答

刚刚回答过你函数可积的充分条件那个问题，如果是一个初等函数，那么一般来讲都是连续的，在有界的情况下，从而也就是可积的。因此简单的初等函数不满足你想要的要求。
狄利克雷函数不难理解，有理数取值为1，无理数取值为0。有界，但不可积。

Answer 4

既然说了必要条件，就是必须要的条件，因此你想错了

追问

必要条件不就是等价于说 可积必有界，但有界不一定可积吗？我想知道具体的几个例子来加深一下对“有界不一定可积”的理解

追答

那离散函数吧