Question

定义在(1,正无穷）上的函数f(x)满足下列两 个条件：

定义在(1,正无穷）上的函数f(x)满足下列两 个条件：(1)对任意的x ∈(1,正无穷）恒有f( 2x)=2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)=2-x; 如果关于x的方程f(x)=k(x-1)恰有两个不同 的解，那么实数k的取值范围是_____求详细过程！！！

Answer 1

当 x在(1,2]时 2-x=k(x-1) 2-x=kx-k
(k+1)x =k+2
1< x=(k+2)/(k+1) <=2 ...(1)
对于x>2是不同值　可以运用f(2x)=2f(x) 总可以用x在(1,2]内的f(x)=2-x来表示
比如对t>2 f(t)=2f(t/2)=2^2 f(t/2^2) =...=2^m f(t/2^m) 其中1<t/2^m<=2.
因为只有两个不同的解这时f(x)=2f(x/2) 1<x/2<=2
f(x/2)=2-x/2
2*(2-x/2) =k(x-1) 4-x=kx-k (k+1)x=k+4
x=(k+4)/(k+1)>2 ...(2)
由（1）（2）可以求得k的取值范围。
由(1) k>-1 k+2<=2k+2 k>=0
由(2) k>-1 k+4>2k+2 k<2
所以0<=k<2