Question

如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,点E,B,C,F在同一条直线上,且EB=BC=CF,求证：AF⊥DE

如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,点E,B,C,F在同一条直线上,且EB=BC=CF,求证：AF⊥DE

Answer 1

证明：设AB、DE交点为G，AF、DC交点为H，连接GH，则：
在△ECD中，EB=BC，且BG∥CD
所以BG是△ECD的中位线，所以BG=CD/2 ，
同理可证：CH是△ABF的中位线，CH=AB/2
由四边形ABCD是平行四边形，知AB=CD，
所以AG=BG=CH=DH
由AG=DH，又因为AG∥DH，所以四边形AGHD是平行四边形
又因为AG=AD=BC=AB/2
所以四边形AGHD是菱形 （一组邻边相等的平行四边形是菱形）
所以AF⊥DE （菱形的对角线互相垂直）

Answer 2

假设AB交DE于Q点，DC交AF于P点，连接PQ因为ABCD是平行四边形，所以AD=AB，AD平行于EF。又因为EB=BC我们有AD=EB。所以AQ/BQ=AD/EB=1所以Q是AB的中点，而AQ=1/2AB=BC=AD。同理可证。P是DC的中点。所以QP是三角形AFB的同位线，所以QP//BC//AD又因为AB//DC所以ADPQ是一个平行四边形。又因为AQ=AD，所以平行四边形ADPQ是一个菱形，因为菱形对角线相垂直，所以AF垂直于DE。