Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P与A、B连线的斜率之积为－ .(1)求点P的轨迹

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P与A、B连线的斜率之积为－ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为 r.(ⅰ)求圆M的方程；(ⅱ)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

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Answer 1

（1） ＝1(x≠±4)（2）(ⅰ) ＋(y－r－3) 2 ＝r 2 .(ⅱ)y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切

(1)设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k 1 ＝ 、k 2 ＝ . 由题意知 · ＝－ ，即 ＝1(x≠±4)． 所以动点P的轨迹方程是 ＝1(x≠±4)． (2)(ⅰ)由题意C(0，－2)，A(－4，0)， 所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3. 设M(a，2a＋3)(a＞0)，则圆M的方程为(x－a) 2 ＋(y－2a－3) 2 ＝r 2 . 圆心M到y轴的距离d＝a，由r 2 ＝d 2 ＋ ，得a＝ . 所以圆M的方程为 ＋(y－r－3) 2 ＝r 2 . (ⅱ)假设存在定直线l与动圆M均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意． 设直线l：y＝kx＋b，则 ＝r对任意r＞0恒成立． 由 ，得 r 2 ＋(k－2)(b－3)r＋(b－3) 2 ＝(1＋k 2 )r 2 . 所以 解得 或 所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切