Question

已知x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根．（1）当实数m为何值时，x12+x22取得最小值？（2）若x1、x2都

已知x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根．（1）当实数m为何值时，x12+x22取得最小值？（2）若x1、x2都大于12，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根
∵△=16m²-16（m+2）=16（m²-m-2）≥0，
∴m≤-1或m≥2，…（3分）
∵x₁+x₂=m，x₁x₂=

m+2

4

∴

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=m²-2?

m+2

4

=（m-

1

4

）²-

17

16

，
∴当m=-1时，x₁²+x₂²有最小值．…（7分）
（2）∵x₁、x₂都大于

1

2

∴（x₁-

1

2

）（x₂-

1

2

）＞0且（x₁-

1

2

）+（x₂-

1

2

）＞0，
即x₁x₂-

1

2

（x₁+x₂）+

1

4

＞0且x₁+x₂-1＞0，…（10分）
∴

m+2

4

-

1

2

m+

1

4

＞0且m-1＞0，
∴m＜3，且m＞1，…（12分）
又∵△≥0，
∴2≤m＜3．…（14分）