Question

各项均为正数的等比数列{an}满足a2=3，a4-2a3=9（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（n+1）?log3an+1

各项均为正数的等比数列{an}满足a2=3，a4-2a3=9（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（n+1）?log3an+1，数列{1bn}前n项和Tn．在（1）的条件下，证明不等式Tn＜1；（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci?ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，在（1）的条件下，令cn＝nan?4nan，n∈N+，求数列{cn}的“积异号数”

Answer 1

解答：（1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由

a4?2a3＝9 a2＝3

得

a2(q2?2q)＝9 a2＝3

，
解得q=3或q=-1，
∵数列{a_n}为正项数列，∴q=3．
∴首项a1＝

a2

q

＝1，
∴an＝3n?1．
（2）证明：由（1）得bn＝(n+1)?log3an+1＝(n+1)log33n＝n(n+1)
∴

1

bn

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

∴Tn＝

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＝1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

＝1?

1

n+1

＜1
（3）解：由（1）得an＝3n?1，
∴cn＝

nan?4

nan

＝1?

4

n?3n?1

，
∴c1＝1?

4

1

＝?3，c2＝1?

4

2×3

＝

1

3

，
∴c₁?c₂=-1＜0，
∵cn+1?cn＝1?

4

(n+1)?3n

?(1?

4

n?3n?1

)＝

4(2n+3)

n(n+1)?3n

＞0
∴数列{c_n}是递增数列；
由c2＝

1

3

＞0得，当n≥2时，c_n＞0．
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．