Question

已知函数f（x）=（2log4x-2）（log4x-12）．（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）≥mlog4x

已知函数f（x）=（2log4x-2）（log4x-12）．（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）≥mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，求m有取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=（2log₄x-2）?（log₄x?

1

2

）=2（log₄x）²-3log₄x+1，
令t=log₄x，x∈[2，4]?t∈[

1

2

，1]，
∴y=2t²-3t+1，对称轴t=

1

2

∈[

1

2

，1]，
当t=

1

2

时，取得最小值：-

1

8

；t=1函数取得最大值：0．
∴y∈-[

1

8

，0]．
（2）∵f（x）≥mlog₄x对于x∈[4，16]恒成立，
由（1）得2t²-3t+1≥mt对于t∈[1，2]恒成立，
∴m≤2t+

1

t

-3对于t∈[1，2]恒成立，
令g（t）=2t+

1

t

-3，t∈[1，2]
∴g′（t）=2-

1

t2

=

2t2?1

t2

＞0，
∴函数g（t）在[1，2]单调递增，
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m≤0，
故m的取值范围为（-∞，0]