Question

复变函数计算积分∮1/(z^4+1)dz,其中,C为x^2+y^2=2x

复变函数计算积分∮1/(z^4+1)dz,其中,C为x^2+y^2=2x是不是C这个圆内没有奇点？，求解题过程，用柯西积分公式

Answer 1

将原积分化为三个积分的和，积分=∮e^zdz/2(z+1)+∮e^zdz/2(z-1)-∮e^zdz/z，由于这三个积分中被积函数的奇点z=-1.z=1,z=0均在积分闭曲线内部，故根据柯西积分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)，积分=πi/e+eπi-2πi=πi(e+1/e-2)。

Answer 2

将c配方得(x-1)^2+y^2=1,也就是围(1,0)的单位元.
明显1/(z*4)的奇点为正负i,正负1因此只有正1在圆内,留数定理得pii/2
1是整函数因此cauchy
goursat定理得1的积分为0
因此pii/2+0=pii/2