Question

关于不等式的问题

关于不等式的问题这3个问号，都成立吗？

Answer 1

解不等式：tan²x>x²，(0<x<π/2)；
解：∵ x∈(0，π/2)；∴tanx>0；因此由原不等式得：tanx>x；
按泰勒公式展开得：tanx≈x+(1/3)x³>x，故得(1/3)x³>0，于是得原不等式的解为：0<x<π/2
即当0<x<π/2时都有tan²x>x²;
检查：当x=10°=π/18=0.1746时tan10°=0.176>π/18≈0.1746，不等式成立；
当x=45°=π/4=0.785时tan45°=1>π/4≈0.785，不等式成立；
当x=89°=89π/180=1.553时tan89°=57.289>89π/180=1.553，不等式成立；

追问

您好，非常感谢您的回答。我还有一些疑问，在不等式中，已知两边都是大于0的数，可以直接去平方计算吗？

已知cosx在0，pai/2内是大于0小于1的，那secx在同样的区间哪是否是大于0小于正无穷的？

最后一个，我记得有一个不等式是x大于sinx，tanx大于x，这两个不等式是有区间要求的吗？

追答

①。不等式两边都>0时，可以直接开平方计算，且无需取绝对值；
②。当0≦x≦π/2时0≦cosx≦1,1≦secxsinx与tanx>x当然都只能在某个区间内成立。
x>sinx成立的区间是x∈(0，+∞)； tanx>x在区间(0，π/2)内肯定成立，
但此问题比较复杂，是否还有别的区间也成立，需要另作研究。

追问

感谢！