Question

设自角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长c。若a,b,c均为整数，且c=(1/3)ab-(a+b),求满足条件的三角形

Answer 1

由c=(1/3)ab-(a+b)得：ab=3(a+b+c)
设该三角形内接圆半径为r，则三角形面积S=½r(a+b+c)，又S=½ab,
故r(a+b+c)=ab=3(a+b+c)，得：r=3
对于直角三角形，有：c=a+b-2r。得：c=a+b-6
则：ab=3(a+b+c)=3[a+b+(a+b-6)]=6a+6b-18
得：a=(6b-18)/(b-6)=[(6b-36)+18]/(b-6)=6+18/(b-6)
欲使a为正整数，须取b-6=1、2、3、6、9、18，即b=7、8、9、12、15、24。
相应得到：a=24、15、12、9、8、7；c=25、17、15、15、17、25。
综上所求，满足条件的三角形有三个：(7、24、25)，(8、15、17)，(9、12、15)。