Question

求函数值域 f(x)=sin x/(1+x²)

Answer 1

求解f(x)=(sinx)/(1+x²）
的值域
f(x)是奇函数,图像关于原点对称；x=0时y=0,故图像过原点.
准确点最大最小值,求不出来,但夸作近似计算.
f(π/6)=(1/3)/(1+π²/36)=12/(36+π²)=0.2616；
f(π/4)=(√2/2)/(1+π²/16)=8(√2)/(16+π²)=0.4373；
f(π/3)=(√3/2)/(1+π²/9)=(9√3)/[2(9+π²)]=0.4130；
f(π/2)=1/(1+π²/4)=4/(4+π²)=0.2884；
由于sinx是有界函数,故x→±∞limf(x)=x→∞lim[(sinx)/(1+x²）=0
在x→±∞的过程中,∣f(x)∣总的趋势是减小的,但不单调.即f(x)的值总在x轴上下附近来回振荡,但振幅会越变越小,最后趋于0.
可以近似地认为,该函数的值域为-8(√2)/(16+π²)≦f(x)≦8(√2)/(16+π²).
其导数是超越函数,求不出它准确的极值点,只能用数值解法求得其近似值.上面给的取值范围只能看作近似值.