Question

一道高中数学题，在线等

已知点集L={(x,y)|y=m*n},其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列Pn(An,Bn)在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{An}的公差为1，n为正整数。

(1)求数列{Bn}的通项公式；
{ An (n为奇数)
(2)若f(n)={ ，给定常数m（m为正整数，m≥2），是否存在
{ Bn (n为偶数)

k为正整数，使得f(k+m)=2f(m),若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）
点集L={(x,y)|y=m*n},其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),
m*n==(2x-b,1)*(1,b+1)=2x+1,即
L={(x,y)|y=2x+1)},
点列Pn(An,Bn)在L中,
所以：Bn=2An+1
P1为L与y轴的交点，
所以A1=0 ， B1=1
又等差数列{An}的公差为1，所以：
An=n-1
所以Bn=2An+1=2(n-1)+1=2n-1
所以数列{Bn}的通项公式为
Bn=2n-1
（2）由（1）知：
n-1 n为奇数
f(n)={
2n-1 n为偶数

〈1〉若给定的m为奇数，假设存在k使f(k+m)=2f(m),
则，2m-2=k+m-1（k为偶数）或2m-2=2(k+m)-1(k为奇数）
由2m-2=k+m-1得k=m-1为偶数符合条件；
由2m-2=2(k+m)-1得k=-1/2不符合题意舍去；
〈2〉若给定的m为偶数，假设存在k使f(k+m)=2f(m),
则，4m-2=2（k+m）-1（k为偶数）或4m-2=(k+m)-1(k为奇数），
由4m-2=2（k+m）-1得2k=2m+1矛盾，舍去；
由4m-2=(k+m)-1得k=3m+1为奇数，符合题意。
综上可知：
当给定的m为奇数时，存在正整数k=m-1使f(k+m)=2f(m)；
当给定的m为偶数时，存在正整数k=3m-1使f(k+m)=2f(m)。

Answer 2

解：（1）因为m*n=2x+1;所以y=2x+1;所以Bn=2An+1
又P1(0,1),{An}的公差为1，则An=n-1
则Bn=2n-1
(2)若m、k均为偶数，则f(k+m)=2（k+m)-1
2f(m)=4m-2,即2k=2m-1,k=m-1/2不成立
若m、k均为奇数，则f(k+m)=2（k+m)-1
2f(m)=2m-2,即k=-1,不成立
若m为奇数、k为偶数，则f(k+m)=（k+m)-1
2f(m)=2m-2,即k=m-1,k=m-1成立
若k为奇数、m为偶数，则f(k+m)=（k+m)-1
2f(m)=4m-2,即k=3m-1,k=3m-1成立
综上存在