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解:函数f(x)满足:
(x+1)/(x-1)>0 <=>(x+1)·(x-1)>0 ①
x-1>0 ②
p-x>0 ③
由①②③得:x>1且x<p
一当p≤1时,显然,x>1与x<p无交集,则函数f(x)无定义域,那么值域不存在。
二当p>1时,函数定义域为(1,p)
∴f(x)=log2(x+1)/(x-1)+log2(x-1)+log2(p-x)
=log2【 【(x+1)/(x-1) 】·(x-1)·(P—x)】
=log2【(x+1)·(P—x)】
=log2【-x²+(p—1)x+p】
令g(x)=-x²+(p—1)x+p,则对称轴为x=(p—1)/2
⑴当(p—1)/2≤1时,即:P≤3,又p>1∴1<p≤3
即:当1<p≤3时,g(x)在区间(1,p)为减函数。
∴f(x)=log2【-x²+(p—1)x+p】在区间(1,p)上也为减函数。(复合函数的同增异减原则)
∴f(x)<f(1)=log2 (2p—2)
即:f(x)的值域为(-∞,log2 (2p—2))
⑵当(p—1)/2>1时,即:P>3,又p>1,∴p>3,∴(p—1)/2<(p+1)/2<p
即:当p>3时,g(x)在区间(1,(p—1)/2】为增函数;g(x)在区间【(p—1)/2,p)上为减函数。
∴0=g(p)<g(x)≤g( (p—1)/2)
∴f(x)=log2【-x²+(p—1)x+p】在区间(1,(p—1)/2)上也为增函数;
f(x)在区间【(p—1)/2,p)上也为为减函数。(复合函数的同增异减原则)
∴f(x)≤f((p—1)/2)=log2 【 (p+1)/2】²=2·log(p+1)/2
即:f(x)的值域为(-∞,2·log(p+1)/2】
综上所述,
①当p≤1时,函数f(x)无定义域,值域不存在。
②当1<p≤3时,f(x)的值域为(-∞,log2 (2p—2))
③当p>3时,f(x)的值域为(-∞,2·log(p+1)/2】
靠..您这图哪来的 我还以为屏幕花了
(x+1)/(x-1)>0 <=>(x+1)·(x-1)>0 ①
x-1>0 ②
p-x>0 ③
由①②③得:x>1且x<p
一当p≤1时,显然,x>1与x<p无交集,则函数f(x)无定义域,那么值域不存在。
二当p>1时,函数定义域为(1,p)
∴f(x)=log2(x+1)/(x-1)+log2(x-1)+log2(p-x)
=log2【 【(x+1)/(x-1) 】·(x-1)·(P—x)】
=log2【(x+1)·(P—x)】
=log2【-x²+(p—1)x+p】
令g(x)=-x²+(p—1)x+p,则对称轴为x=(p—1)/2
⑴当(p—1)/2≤1时,即:P≤3,又p>1∴1<p≤3
即:当1<p≤3时,g(x)在区间(1,p)为减函数。
∴f(x)=log2【-x²+(p—1)x+p】在区间(1,p)上也为减函数。(复合函数的同增异减原则)
∴f(x)<f(1)=log2 (2p—2)
即:f(x)的值域为(-∞,log2 (2p—2))
⑵当(p—1)/2>1时,即:P>3,又p>1,∴p>3,∴(p—1)/2<(p+1)/2<p
即:当p>3时,g(x)在区间(1,(p—1)/2】为增函数;g(x)在区间【(p—1)/2,p)上为减函数。
∴0=g(p)<g(x)≤g( (p—1)/2)
∴f(x)=log2【-x²+(p—1)x+p】在区间(1,(p—1)/2)上也为增函数;
f(x)在区间【(p—1)/2,p)上也为为减函数。(复合函数的同增异减原则)
∴f(x)≤f((p—1)/2)=log2 【 (p+1)/2】²=2·log(p+1)/2
即:f(x)的值域为(-∞,2·log(p+1)/2】
综上所述,
①当p≤1时,函数f(x)无定义域,值域不存在。
②当1<p≤3时,f(x)的值域为(-∞,log2 (2p—2))
③当p>3时,f(x)的值域为(-∞,2·log(p+1)/2】
靠..您这图哪来的 我还以为屏幕花了
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