Question

已知函数f(x)=log2(x+1)/(x-1)+log2(x-1)+log2(p-x)求f(x)的值域

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Answer 1

解：函数f（x）满足：

(x+1)／(x-1)＞0 ＜＝＞(x+1)·(x-1)＞0 ①

x－1＞0 ②

p－x＞0 ③

由①②③得：x＞1且x＜p

一当p≤1时，显然，x＞1与x＜p无交集，则函数f（x）无定义域，那么值域不存在。

二当p＞1时，函数定义域为（1，p）

∴f(x)=log2(x+1)/(x-1)+log2(x-1)+log2(p-x)

=log2【 【(x+1)／(x-1) 】·（x－1）·（P—x）】

=log2【（x＋1）·（P—x）】

=log2【－x²＋（p—1）x＋p】

令g（x）=－x²＋（p—1）x＋p，则对称轴为x=（p—1）／2

⑴当（p—1）／2≤1时，即：P≤3，又p＞1∴1＜p≤3

即：当1＜p≤3时，g（x）在区间（1，p）为减函数。

∴f（x）=log2【－x²＋（p—1）x＋p】在区间（1，p）上也为减函数。（复合函数的同增异减原则）

∴f（x）＜f（1）=log2 （2p—2）

即：f（x）的值域为（－∞，log2 （2p—2））

⑵当（p—1）／2＞1时，即：P＞3，又p＞1，∴p＞3，∴（p—1）／2＜（p＋1）／2＜p

即：当p＞3时，g（x）在区间（1，（p—1）／2】为增函数；g（x）在区间【（p—1）／2，p）上为减函数。

∴0=g（p）＜g（x）≤g（ （p—1）／2）

∴f（x）=log2【－x²＋（p—1）x＋p】在区间（1，（p—1）／2）上也为增函数；

f（x）在区间【（p—1）／2，p）上也为为减函数。（复合函数的同增异减原则）

∴f（x）≤f（（p—1）／2）=log2 【 （p＋1）／2】²=2·log（p＋1）／2

即：f（x）的值域为（－∞，2·log（p＋1）／2】

综上所述，

①当p≤1时，函数f（x）无定义域，值域不存在。

②当1＜p≤3时，f（x）的值域为（－∞，log2 （2p—2））

③当p＞3时，f（x）的值域为（－∞，2·log（p＋1）／2】

靠..您这图哪来的 我还以为屏幕花了