Question

函数f（x）,x∈R,若对于任意实数a,b都有f（a+b）=f（x）+f（b）.求证：f（x）为奇

函数f（x）,x∈R,若对于任意实数a,b都有f（a+b）=f（x）+f（b）.求证：f（x）为奇函数。

Answer 1

解由对于任意实数a,b都有f（a+b）=f（a）+f（b）.

取a=b=0
则f（0）=f（0）+f（0）
即f（0）=0
再令a=x，b=-x
则f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（-x）=-f（x）
则f（x）为奇函数。

追问

为什么f（0）=0

追答

取a=b=0
则f（0）=f（0）+f（0）
则f（0）=2f（0）
即2f（0）-f（0）=0
即f（0）=0