计算∫∫∫(1-z^2)dxdydz,其中Ω是由z=2-(x^2+y^2)与z=1所围成的闭区域. 5
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∫∫∫Ω (1 - z²) dxdydz
= ∫(0，2π) dθ ∫(0，1) rdr ∫(2 - r²，1) (1 - z²) dz
= 2π∫(0，1) r(z - z³/3)|(2 - r²，1) dr
= 2π∫(0，1) r[(1 - 1/3) - ((2 - r²) - (2 - r²)³/3)] dr
= 2π∫(0，1) (- r⁷/3 + 2r⁵ - 3r³ + 4r/3) dr
= 5π/12
∫∫∫Ω (1 - z²) dxdydz
= ∫(1，2) (1 - z²) dz ∫∫Dz dxdy
= ∫(1，2) (1 - z²) * π |2 - z| dz
= 5π/12
= ∫(0，2π) dθ ∫(0，1) rdr ∫(2 - r²，1) (1 - z²) dz
= 2π∫(0，1) r(z - z³/3)|(2 - r²，1) dr
= 2π∫(0，1) r[(1 - 1/3) - ((2 - r²) - (2 - r²)³/3)] dr
= 2π∫(0，1) (- r⁷/3 + 2r⁵ - 3r³ + 4r/3) dr
= 5π/12
∫∫∫Ω (1 - z²) dxdydz
= ∫(1，2) (1 - z²) dz ∫∫Dz dxdy
= ∫(1，2) (1 - z²) * π |2 - z| dz
= 5π/12
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