Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若AD=2，tan

已知：如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若AD=2，tan∠DAC=12，求⊙O直径AB的长．

Answer 1

解答：证明：（1）连接OC．
则OC=OA，∴∠1=∠2．
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴AD∥OC．
∴∠D=∠OCE．
又直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC于C．
∴∠OCE=90°．
∴∠D=90°．
∴AD⊥DC．

解：（2）在Rt△ADC中，
∵

DC

AD

=tan∠DAC=

1

2

，
∴DC=

1

2

AD=

1

2

×2=1．
∴由勾股定理得AC=

5

．连接BC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠D．又∠1=∠3，
∴△ACB∽△ADC．
∴

AC

AD

＝

AB

AC

，即

5

2

＝

AB

5

．
解得AB=

5

2

．
∴⊙O直径AB的长是

5

2

．