Question

已知⊙O1的极坐标方程为ρ=4cosθ．点A的极坐标是（2，π）．（Ⅰ）把⊙O1的极坐标方程化为直角坐标参数

已知⊙O1的极坐标方程为ρ=4cosθ．点A的极坐标是（2，π）．（Ⅰ）把⊙O1的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点A的极坐标化为直角坐标．（Ⅱ）点M（x0，y0）在⊙O1上运动，点P（x，y）是线段AM的中点，求点P运动轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

（I）∴⊙O₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴两边者乘以ρ，得ρ²=4ρcosθ
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴⊙O₁的直角坐标方程为x²+y²=4x，化成标准方程得（x-2）²+y²=4
令x=2+2cosα，y=2sinα，得⊙O₁的参数方程为

x＝2+2cosα y＝2sinα

（α为参数）
设点A的直角坐标为（m，n）
∵点A的极坐标是（2，π），∴m=2cosπ=-2，n=2sinπ=0
由此可得点A的直角坐标为（-2，0）．
（II）∵A（-2，0），M（x₀，y₀），
∴线段AM的中点P（x，y）满足

x＝ 1 2 (?2+x0) y＝ 1 2 y0

，可得

x0＝2+2x y0＝2y

∵点M（x₀，y₀）在⊙O₁上运动，
∴（x₀-2）²+y₀²=4，可得[（2+2x）-2]²+（2y）²=4，化简得x²+y²=1
由此可得：点P运动轨迹的直角坐标方程为x²+y²=1．