Question

如图，抛物线 与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，

如图，抛物线 与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由

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Answer 1

解：（1）∵y=x 2 ﹣ bx﹣5， ∴OC|=5， ∵OC|：|OA|=5：1， ∴OA|=1，即A（﹣1，0）， 把A（﹣1，0）代入y=x 2 ﹣bx﹣5得 （﹣1） 2 +b﹣5=0， 解得b=4， 抛物线的解析式为y=x 2 ﹣4x﹣5； （2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x 0 ，﹣5）， ∴x 0 2 ﹣4x 0 ﹣5=﹣5， 解得x 0 =0（舍去）， 或x 0 =4， ∴F（4，﹣5）， ∴对称轴为x=2， 设直线AF的解析式为y=kx+b， 把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b， 得 ， 解得 ， 所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1； （3）存在． 理由如下： ①当∠FCP=90°时，点P与点E重合， ∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点， ∴E（0，﹣1）， ∴P（0，﹣1），… ② 当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x 1 ，﹣x 1 ﹣1）， ∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5）， ∴CE=CF， ∴EP=EF， ∴CP=PF， ∴点P在抛物线的对称轴上，… ∴x 1 =2， 把x 1 =2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3， ∴P（2，﹣3）， 综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．