Question

已知x，y满足条件 x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0 （1）求z=2y-x的最

已知x，y满足条件 x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0 （1）求z=2y-x的最大值．（2）求x 2 +y 2 的最小值．

Answer 1

（1）作出不等式组 x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0 表示的平面区域， 得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，3），B（7，9），C（3，1）， 设z=F（x，y）=2y-x，将直线l：z=2y-x进行平移， 观察x轴上的截距变化，可得当l经过点BC上一点时，目标函数z达到最大值． ∴z 最大值 =F（7，9）=11； （2）设P（x，y）为区域内一个动点， 则|OP|= x 2 + y 2 ，因此x 2 +y 2 =|OP| 2 表示O、P两点距离的平方之值． ∵当P与原点O在AC上的射影Q重合时，|OP|= |0+0-4| 2 =2 2 达到最小值 ∴|OP| 2 的最小值为8，即x 2 +y 2 的最小值为8．