Question

已知函数f(x)＝ax+ax+b(a，b∈R)的图象在点（1，f（1））处得切线在y轴上的截距为3，若f（x）＞x在（1，+

已知函数f(x)＝ax+ax+b(a，b∈R)的图象在点（1，f（1））处得切线在y轴上的截距为3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是______．

Answer 1

由题意，f（1）=2a+b∵函数f(x)＝ax+

a

x

+b(a，b∈R)
∴f′（x）=a-

a

x2

∴f′（1）=0；
所以图象在点（1，f（1））处的切线为：y=f（1）=2a+b=3∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
设g（x）=f（x）-x=（a-1）x+

a

x

+3-2a，
∴g′（x）=a-1-

a

x2

a≤0时，x²＞1，0＜

1

x2

＜1，∴0＜?

a

x2

＜-a，∴a-1-

a

x2

＜-1＜0； 0＜a＜1时，a-1＜0，∴?

a

x2

＜0，∴a-1-

a

x2

＜0；所以a＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（x）＞0不会恒成立，不满足题意；
把a=1代入可得：g（x）=

1

x

+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合条件； a＞1时，g′（x）=0 得：x=

a a?1

；当x＞

a a?1

时，g′（x）＞0；1＜x＜

a a?1

时，g′（x）＜0 所以g（x）_min=g

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