Question

求xlnsinx在0到二分之pi的定积分

求xlnsinx在0到二分之pi的定积分

Answer 1

设M=∫【0，л/2】lnsinxdx（注：【0，л/2】表示积分区间是从0到л/2，以下类同。）
解：令x=2t.
则M=2∫【0，л/4】lnsin2tdt=2∫【0，л/4】ln(2sintcost)dt
=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lnsintdt+2∫【0，л/4】lncostdt
而对于N=∫【0，л/4】lncostdt,令t=л/2-u.
则有N=∫【л/2，л/4】lnsin(л/2-u)(-du)=∫【л/4，л/2】lncosudu
=∫【л/4，л/2】lncostdt
∴M=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lncostdt+2∫【л/4，л/2】lncostdt
=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lncostdt=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lnsintdt=(лln2)/2+2M
∴M=(-лln2)/2.

追问

前面还有个x...