Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an－2(n=1,2,3...),数列{bn}中，b1=1,点(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上

(1)求数列{an} {bn}的通项an和bn

(2)记Sn=a1b1+a2b2+.....+anbn,求Sn.

Answer 1

　　解：（1）由Sn = 2an—2 可得，当n=1时，S1 = a1 = 2 a1—2
　　解得a1 = 2 又Sn-1 = 2an-1—2
　　则Sn — Sn-1 = an = 2an—2—（2an-1—2）=2an—2an-1
　　整理可得，an = 2 an-1 ，为等比数列，公比为q = 2
　　故an = a1•qn-1 = 2•2n-1 = 2n ，n∈N+
　　因为点（bn ，bn+1）在直线 x—y+2=0上，
　　则有bn—bn+1+2=0 ，即bn+1—bn=2
　　此数列为等差数列，公差为d = 2 ，又b1 = 1
　　故bn=b1+(n—1) d = 1+(n—1)•2 = 2 n—1
　　当n=1时，b1 = 1 则bn = 2 n—1 , n∈N+
　　(2) 由（1）可知an•bn = 2n•(2 n—1)= 2n+1•n—2n
　　所以：
　　Sn = 22•1—2+23•2—22 +24•3—23+…+2n•(n—1) —2n-1+2n+1•n—2n
　　=23•1+24•2+…+2n•(n—2) +2n+1•n—2 ①
　　2Sn=24•1+25•2+…+2n+1•(n—2) +2n+2•n—4 ②
　　①式—②式，得
　　—Sn = 23+24+25+…+2n +2n+1•2—2n+2•n+2
　　=2+(23—23•2n-2)／(1—2) +2n+2•(1—n)
　　=—6—2n+1•(2 n—3)
　　综上，Sn =6+2n+1•(2 n—3) 解毕.
　　(在文档上解完粘贴上来效果不一样，楼主如若看不清楚，可留下邮箱，我可以将文档发给你)

Answer 2

(1)由Sn=2an-2得：
a1=s1=2a1-2
a1=2;
an=S(n)-S(n-1)=2an-2-(a(n-1)-2)
得an/a(n-1)=2,{an}是等比数列
an=2^n

bn-bn+1+2=0得b(n+1)-bn=2
得{bn}是等差数列，bn=2n-1
(2)Sn=2*1+2^2*(2*2-1)+……+2^n(2*n-1)
2Sn= 2^2*1+2^3*(2*2-1)+……+2^n(2*n-3)+2^(n+1)(2*n-1)
-Sn=2+2^2*(2*2-2)+……+2^n*2-2^(n+1)(2*n-1)
Sn=2-2^3-2^4-……+2^(n+2)*(n-1)
=2-8(2^(n-2)-1)+2^(n+2)*(n-1)

Answer 3

an=二分之一的（n－2）次方，bn＝3－2n