Question

高手帮忙解一道解析几何题

Answer 1

设直线 l 方程为: y = kx + 3
代入椭圆方程, 得到:
4x^2 + 9(kx+3)^2 = 36
整理得:
(9k^2 + 4) x^2 + 54kx + 45 = 0
交点 A(x1, y1), B(x2, y2), 其中 x1, x2 分别是上述方程的两个根 (依题意, 排除方程无根或只有一个根的情况)
|AB|^2 = (x1-x2)^2 * (1+k^2) = (1+k^2) [ (x1+x2)^2 - 4x1x2 ]
其中 x1+x2 = -54k/(9k^2+4), x1x2 = 45/(9k^2+4)
整理得:
|AB|^2 = (1+k^2)(1296k^2 - 720)/(9k^2+4)^2

而三角形的高 h, 就是 O(0, 0) 到直线 l 的距离：
h^2 = 9/(1+k^2)

4S^2 = |AB|^2 * h^2 = 9(54^2k^2-180)/(9k^2+4)^2
设 9k^2 + 4 = X
4S^2 = 1296 (X-9)/X^2
4S^2 X^2 - 1296X + 9*1296 = 0
显然，X 有解必须满足
4 * 4S^2 * 9*1296 <= 1296^2
也就是 S^2 <= 9
当 S 取最大值 3 时， X = 18，也就是 9k^2+4 = 18, k^2 = 14/9

三角形面积最大值 3

Answer 2

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