Question

高等数学:已知L:x^2+y^2=a^2,取逆时针方向，则曲线积分∫L x^2ydx-xy^2dy=?

应用格林公式转化成 ∫∫ x^2+y^2 dxdy用极坐标求出答案是 πa^4/2如果我把 x^2+y^2=a^2 带入到上面，a^2*∫∫ 1 dxdy = a^2*πa^2 = πa^4（∫∫ 1 dxdy是圆的面积）为什么两种做法答案不一样？

Answer 1

对坐标的曲线积分，把 x^2+y^2=a^2 带入到上面错误，因这只考虑了边界。本题应用格林公式化成 ∫∫ -（x^2+y^2） dxdy， 用极坐标求出答案是 -πa^4/2。

取充分小的正数e，在单位圆内做椭圆x＾2＋4y＾2＝e＾2，方向为逆时针方向，记为S＋S包围区域为D，其长轴为e，短轴为e／2，面积为pi＊e＾2／2。

原积分＝∫LPdx＋Qdy

＝∫L并S－Pdx＋Qdy－－∫S－Pdx＋Qdy第一个用格林公式注意到ap／ay＝aQ／ax

＝0＋∫S＋Pdx＋Qdy

＝【∫S＋（x＋4y）dy＋（x－－y）dx】／e＾2再用格林公式

＝∫∫D（1＋1）dxdy／e＾2

＝2＊D的面积／e＾2

＝pi。

格林公式的含义：

平面闭区D上的二重积分可表示为沿闭区D边界曲线L的曲线积分；换句话说，闭合路径的曲线积分可以用二重积分来计算。

如果区域D不满足上述条件，也就是说，如果直线的交点平行于坐标轴通过区域和边界曲线超过两个点，一个或多个辅助曲线可以引入该地区分成几个部分地区，使得每个部分区域都符合上述条件，并且仍然可以证明格林公式的有效性。

注：对于复杂连通区域D，格林公式的右端应包含沿区域D所有边界的曲线积分，且区域D边界方向均为正。

格林公式表达了二重积分与曲线积分在坐标上的联系，因此得到了广泛的应用。

以上内容参考：百度百科-格林公式

Answer 2

对坐标的曲线积分，把 x^2+y^2=a^2 带入到上面错误，因这只考虑了边界。
本题应用格林公式化成 ∫∫ -（x^2+y^2） dxdy， 用极坐标求出答案是 -πa^4/2， 选 A.

追问

只考虑了边界，能不能解释的更详细一点

Answer 3

如图所示