Question

求曲线方程，微分方程应用

Answer 1

设任意一点A（x0，y0）
该点切线，y=f'(x0)（x-x0)+y0
切线与x轴的交点C：xc=x0-y0/f'(x0)
梯形面积=（x0+xc）y0/2
=（x0+x0-y0/f'(x0)）y0/2
=（2x0-y0/f'(x0)）y0/2
=4
（2x0-y0/f'(x0)）y0=8
2x0y0-y0²/f'(x0)=8
2x0f(x0)f'(x0)-f²（x0）=8f'(x0)
写成标准形式：
2xyy'-y²=8y'
(2xy-8)y'=y²
2xy'-y=8y'/y
2xy'-8(lny)'=y
x=2,y=2,代入：
（2×2×2-8）y'=2²
0.f'(2)=4
必有f'(2)=+∞，
（2,2）处切线，平行于y轴。

追答

这个方程求解困难，需要技巧。其中未知数x很少，只有一个，我们将方程看成x是y的函数，就比较简单。y'=dy/dx=1/（dx/dy）=1/x'
x'=1/y'

2xy-y²/y'=8
2yx-y²x'=8
齐次方程:
2yx-y²x'=0
y=0，不是解，约去:
2x=yx'
2/y=x'/x
两边积分:
C1十2lny=lnx
ln（Dy²）=lnx
x=Dy²

变常数法求原非齐次方程的特解。
x'=D'y²十2Dy
代入:
2Dy³-（ D'y²十2Dy ）y²=8
-D'y^4=8
D'=-8y^（-4）
积分:
D=（8/3）/y³十E
特解
x=Dy²
= （8/3）/y十Ey²
通解=特解十齐次方程通解
x=Dy²十 （8/3）/y十Ey²
x=（8/3）/y十Gy²

y=2,x=2
2=4/3十4G
1=2/3十2G
G=1/6
x=8/（3y）十y²/6